量子场论中的振幅体：从SYM到ABJM
20世纪物理学两大革命（狭义相对论和量子力学）结合的产物--量子场论已被公认为描述自然的基本理论框架，以此为基础的粒子物理标准模型得到了广泛的实验验证。散射振幅作为量子场论中核心的观测量，搭建起了联系理论与实验的主要桥梁。其原始动机来源于在对比理论与实验数据方面的重要应用价值：无论是现有的还是未来的高能实验，都需要更加精确、快速地计算场论振幅；引力和弯曲时空场论的微扰计算对引力波、早期宇宙等物理也有重要意义。在应对高精度计算的挑战中，人们发展了比费曼图更有效的微扰计算方法（例如在壳方法），揭示了在传统场论框架中很难理解的新结构（例如规范场、引力和弦论隐藏对称性及其内在联系），乃至发现了振幅新的表述形式（例如CHY形式、振幅体等）。近年来相关研究进展极其迅速，已成为最受关注的理论方向之一。
散射振幅相关方向的进展促使我们重新思考诸如规范不变性、定域性、因果律、时空等基本概念，甚至在特定理论中找到了量子场论新的表述形式。2013年，Nima Arkani-Hamed等对于四维平面极限下的最大超对称规范场论（SYM）这一简单但依然具有丰富结构的理论找到了新的表述形式；他们将振幅与一个几何体——振幅体（Amplituhedron）[1] 联系起来，其“体积”形式（canonical form）在任意圈都给出了这一规范场论的被积函数！更重要的是，振幅体在其边界上的因子化行为对应着振幅在极点上的因子化：这不仅使得我们第一次可以原则上得到该理论任意圈被积函数，还实现了传统费曼图很难显明看出的幺正性和对称性。自此之后，人们继续寻找振幅体在更一般理论中的推广，如标量理论对应于结合体（Associahedron）[2]。在这些几何表述中，满足相对论和量子力学原理的散射振幅会自然出现，从而在实现了量子场和时空本身的涌现 (emergence)。这些进展深化了我们对基础理论的理解，催生了新的数学方向，并为从场论出发解决量子引力问题提供了新的思路。
图1: SYM的振幅体示意图（左）、标量场对应的结合体（右）
对于SYM的振幅体，尽管幺正性等可以被显明展现，真正从其出发直接计算高圈被积函数依然是很困难的事情。2020年，人们对四维四点的振幅提出了“负几何”并给出了一种新的图论方法简化了高圈的计算[3]：四点振幅的对数到任意圈都由所有连通图的负几何求和给出。最近，中科院理论物理所的何颂研究员，博士生李振杰、张耀奇，与台大的博士生郭家恺发现：如果把四维运动学变量投影到三维，那么负几何的计算将极大简化——与之前的全部连通图求和不同，现在只需要对其中的连通二分(bipartite)图做求和，同时其正则形式也更容易计算。
图2：四圈振幅可由三种连通二分图得到
令人惊讶的是，投影后这一新的几何模型不仅仅只是数学上原有振幅体的简化，而在物理上恰好得到了三维超共形陈-西蒙斯理论，即ABJM理论（Aharony-Bergman-Jafferis-Maldacena）[4]的振幅！这一新的计算方法也使得四点ABJM被积函数的计算被推进到了至少五圈（以及无穷多的任意圈幺正切割结果），同时也在几何上对振幅体背后的物理和数学结构的研究提供了新的启发（如三维和四维任意圈振幅的幺正性可以从这对几何模型中统一推导出来）。更进一步地，这一研究暗示了SYM理论与ABJM理论这两个重要的量子场论之间存在着某种深刻的关系；未来也许可以从几何出发更好地理解它们所处的AdS/CFT对应，以及相应的弦论（M理论）中的物理。
该研究成果近日发表在Phys. Rev. Lett. 129 (2022) 221604上。相关工作得到了国家自然科学基金重点项目的资助。
参考文献
[1] Arkani-Hamed N, Trnka J. The amplituhedron. Journal of High Energy Physics, 2014, 2014(10): 1-33.
[2] Arkani-Hamed N, Bai Y, He S, et al. Scattering forms and the positive geometry of kinematics, color and the worldsheet. Journal of High Energy Physics, 2018, 2018(5): 1-78.
[3] Arkani-Hamed N, Henn J, Trnka J. Nonperturbative negative geometries: amplitudes at strong coupling and the amplituhedron. Journal of High Energy Physics, 2022, 2022(3): 1-39.
[4] Aharony O, Bergman O, Jafferis D L, et al.